"Elasticity"

Jag fick en fråga i mejl av Lina, som nog är av intresse för andra av er. Hon skriver:

Jag försöker reda ut begreppet elasticity. Hewitt skriver ju att hur fort ljudet färdas har med materialets elasticity att göra. Jag förstår inte ordet... Jag har tidigare tänkt i densitet eftersom "skolläroböcker" ofta tar upp det, att ljud färdas snabbare i vatten än luft på grund av att densiteten är högre i vatten. Men det resonemanget funkar ju inte längre. T ex helium har ju lägre densitet än luft, men i helium färdas ju ljudet fortare än i luft. Är det för att helium är så lätt och därför har "många molekyler" som kan krocka/volymenhet?

Det är mycket möjligt att det finns en del skolböcker som säger att ljudhastigheten är högre i vatten pga densitet, men det är strunt. Jag har försökt förmedla till er att svängningshastigheter är högre ju starkare den återställande kraften är, och lägre ju större trögheten (massan) är. Det gäller för svängningar av massor på fjädrar, det gäller även för våghastigheter på strängar och i material. Våghastighet är omvänt proportionell mot roten ur densitet.

Det är den återställande kraften som är så mycket större i vatten än i luft. I en stav (is, stål) är det elasticitetsmodulen, som definieras som förhållandet mellan mekanisk spänning och töjning. Töjning är relativ längdändring, och är enhetslös. Spänning är kraft delad med stavens tvärsnittsarea, och har alltså samma enhet som tryck. Stål har en hög elasticitetsmodul (200 gigapascal), gummi har en låg elasticitetsmodul (mindre är 0,1 GPa).

I tre dimensioner är det lite annorlunda, eftersom stavar kan bli lite smalare när de dras ut. Så för vågutbredning i tre dimensioner är det bulkmodulen som gäller, som är definierad som förhållandet mellan tryck och relativ volymändring. Det är det omvända av kompressibilitet. Skolböcker kan säga att vatten är inkompressibel, och det är sant att vattnets kompressibilitet är försumbar i förhållande till luft. Men den är inte noll, så bulkmodulen är inte oändlig. För vatten är den 2,2 GPa, mycket mindre än för stål, men 22 000 gånger så stor än för luft.

För ideala gaser är den isoterma bulkmodulen lika med gasens tryck, eftersom produkt av tryck och volym är konstant vid konstant temperatur. Så under standardförhållanden är det 10⁵ Pa (tusen hektopascal). Men för ljud måste man använda den adiabatiska bulkmodulen, eftersom svängningarna är så snabba att det inte finns någon energiutväxling med omgivningen. För kväve och syre är den 40 % högre än trycket.

Alla ideala gaser har lika många molekyler per volymenhet. En heliumatom är 7 gånger lättare än en kvävemolekyl, så ljudhastigheten är lite mindre än tre gånger så hög.